Question

在△ABC中，若acosA-bcosB=0，則三角形的形狀是（　　）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

Answer 1

分析：解法1：把由余弦定理解出的余弦表達(dá)式代入已知的等式化簡(jiǎn)可得：（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），分①a²-b²=0和②a²-b²≠0兩種情況討論；
解法2：根據(jù)正弦定理把等式acosA=bcosB的邊換成角的正弦，再利用倍角公式化簡(jiǎn)整理得sin2A=sin2B，進(jìn)而推斷A=B，或A+B=90°答案可得．

解答：解：法1：∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

，cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∴

b2+c2-a2

2bc

•a=

a2+c2-b2

2ac

•b，
化簡(jiǎn)得：a²c²-a⁴=b²c²-b⁴，即（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），
①若a²-b²=0時(shí)，a=b，此時(shí)△ABC是等腰三角形；
②若a²-b²≠0，a²+b²=c²，此時(shí)△ABC是直角三角形，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；
法2：根據(jù)正弦定理可知∵acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，
所以△ABC為等腰或直角三角形．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，其中涉及的知識(shí)有：余弦定理，正弦定理，等腰、直角三角形的判定，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，解法1利用了分類討論的思想，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．