Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x+m)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）當x∈[0，

π

6

]時，-4＜f（x）＜4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）滑進函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2x+

π

6

）+m+1，由此求得周期，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可得到在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）當x∈[0，

π

6

]時，求得m+2≤f（x）≤m+3，再由-4＜f（x）＜4恒成立，可得  m+2＞-4且 m+3＜4，由此求得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x+m=cos2x+

3

sin2x+m+1=2sin（2x+

π

6

）+m+1．
故函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
故在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

π

6

]、[

2π

3

，π]．
（Ⅱ）當x∈[0，

π

6

]時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，故有

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，故 m+2≤f（x）≤m+3．
再由-4＜f（x）＜4恒成立，可得  m+2＞-4且 m+3＜4，解得-6＜m＜1，
故實數(shù)m的取值范圍為（-6，1）．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．