Question

（2013•日照一模）已知長方形ABCD，AB=2

2

，BC=

3

3

．以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．
（I）求以A，B為焦點(diǎn)，且過C，D兩點(diǎn)的橢圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)E（-1，0），直線y=kx+t與橢圓P交于M、N相異兩點(diǎn)，證明：對作意的t＞0，都存在實(shí)數(shù)k，使得以線段MN為直徑的圓過E點(diǎn)．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得2a=AC+BC=即可得出a，又c=

2

，利用b²=a²-c²即可得出．
（II）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出k與t的關(guān)系，再利用△＞0即可證明．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(-

2

，0)，(

2

，0)，(

2

，

3

3

)
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則2a=AC+BC=2

3

＞2，∴a=

3

．
又c=

2

，
∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）將y=kx+t代入橢圓方程，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
由直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，所以△=（6kt）²-12（1+3k²）（t²-1）＞0，解得k2＞

t2-1

3

．
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x1+x 2=-

6kt

1+3k2

，x1•x2=

3(t2-1)

1+3k2

，
∵以MN為直徑的圓過E點(diǎn)，∴

EM

•

EN

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2，
∴(k2+1)

3(t2-1)

1+3k2

-(tk+1)

6kt

1+3k2

+t2+1=0，解得k=

2t2-1

3t

．
如果k2＞

t2-1

3

對任意的t＞0都成立，則存在k，使得以線段MN為直徑的圓過E點(diǎn)．
(

2t2-1

3t

)2-

t2-1

3

=

(t2-1)2+t2

9t2

＞0，即k2＞

t2-1

3

．
∴對任意的t＞0，都存在k，使得以線段MN為直徑的圓過E點(diǎn)．

點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．