Question

4．一個圓錐的側面展開圖是半徑為a的半圓，則此圓錐的體積為$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}π}{24}$．

Answer 1

分析 半徑為a的半圓的弧長是aπ，圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長，因而圓錐的底面周長是aπ，利用弧長公式計算，求出半徑，進而可得高，即可求出圓錐的體積．

解答 解：∵圓錐的側面展開圖是一個半徑為a的半圓，
∴圓錐的母線長為a，
設圓錐的底面半徑為r，
則2πr=π×a，
∴r=$\frac{a}{2}$．
圓錐的高為：$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴圓錐的體積=$\frac{1}{3}$×（$\frac{a}{2}$）²×π×$\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}π}{24}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}π}{24}$．

點評 本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長，正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵．