Question

19．已知cos（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{4}{5}$，cos（β-$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$，且-$\frac{2π}{3}$＜α＜-$\frac{π}{6}$＜β＜$\frac{π}{3}$，則cos（α-β）=$\frac{11}{15}$．

Answer 1

分析 根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的余弦公式以及誘導公式即可求出答案．

解答 解：∵cos（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{4}{5}$，
∴cos（$\frac{π}{6}$+α）=sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{6}$+α）]=sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$，
∵-$\frac{2π}{3}$＜α＜-$\frac{π}{6}$＜β＜$\frac{π}{3}$，
∴-π＜α-$\frac{π}{3}$＜-$\frac{π}{2}$＜β-$\frac{π}{3}$＜0
∴cos（α-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{3}）}$=-$\frac{3}{5}$，
∵cos（β-$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$，
∴sin（β-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（β-\frac{π}{3}}）$=-$\frac{12}{13}$，
∴cos（α-β）=cos[（α-$\frac{π}{3}$）-（β-$\frac{π}{3}$）]=cos（α-$\frac{π}{3}$）cos（β-$\frac{π}{3}$）+sin（α-$\frac{π}{3}$）sin（β-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{13}$+（-$\frac{4}{5}$）×（-$\frac{12}{13}$）=$\frac{33}{65}$=$\frac{11}{15}$，
故答案為：$\frac{11}{15}$

點評 本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的余弦公式以及誘導公式，屬于基礎(chǔ)題．