Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=

2

，∠CDA=45°．
（1）求證：平面PAB⊥平面PAD；
（2）設(shè)AB=AP．若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）證明平面PAB⊥平面PAD，只需證明AB⊥平面PAD，只需證明PA⊥AB，AB⊥AD；
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，在平面ABCD內(nèi)，作CE∥AB交AD于點(diǎn)E，求出平面PCD的一個(gè)法向量，利用直線PB與平面PCD所成的角為30°，建立方程，即可求線段AB的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
所以AB⊥平面PAD．
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（6分）
（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz（如圖）
在平面ABCD內(nèi)，作CE∥AB交AD于點(diǎn)E，則CE⊥AD．
在Rt△CDE中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1，
設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）
由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以E（0，3-t，0），C（1，3-t，0），D（0，4-t，0），

CD

=(-1，1，0)，

PD

=(0，4-t，-t)．
設(shè)平面PCD的法向量為

n

=（x，y，z），
由

n

⊥

CD

，

n

⊥

PD

，得

-x+y=0 (4-t)y-tx=0.

取x=t，得平面PCD的一個(gè)法向量

n

=（t，t，4-t），
又

PB

=(t，0，-t)，故由直線PB與平面PCD所成的角為30°，得cos60°=|

n • PB

| n || PB |

|，即

|2t2-4t|

t2+t2+(4-t)2 • 2x2

=

1

2

，
解得t=

4

5

或t=4（舍去，因?yàn)锳D=4-t＞0），所以AB=

4

5

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面垂直，考查線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確求平面的法向量，向量的夾角公式是關(guān)鍵．