已知Sn=a1+a2+…+an,n∈N*.

(1)若Sn=n·2n-1(n∈N*),是否存在等差數(shù)列{an}對一切自然數(shù)n滿足上述等式?

(2)若數(shù)列{an}是公比為q(q≠±1),首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,b1+b2+…+bn=(n∈N*).求證:{bn}是等比數(shù)列.

解:(1)假設(shè)存在等差數(shù)列{an}滿足條件.設(shè)an=nd+a,

∴


+a·(2n-1)=d·n·2n-1+a(2n-1)

=n·2n-1,

令d=1,a=0滿足上式.

故存在等差數(shù)列{an}滿足題設(shè).

(2),

∴S=［·(q-1)+·(q2-1)+ …+(qn-1)］

=［(1+q)n-2n］.

∴.

當(dāng)n≥2時(shí),;

當(dāng)n=1時(shí),滿足上式.

∴.故{bn}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A1（1，y1），A2（2，y2），A3（3，y3），…An（n，yn）都在拋物線y=x2-2x上，則{yn}的前n項(xiàng)和Sn=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，令Tn=
S1+S2+…+Sn
n
，稱Tn為數(shù)列a1，a2，…，an的“理想數(shù)”，已知數(shù)列a1，a2，…，a400的“理想數(shù)”為2005，則11，a1，a2，…，a400的“理想數(shù)”為（　�。�
A、2010B、2011
C、2012D、2013

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，2Sn=Sn-1-(
1
2
)n-1+2（n≥2，n∈N*），且a1=
1
2
．
（1）求a2的值，并寫出an和an+1的關(guān)系式；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn的表達(dá)式；
（3）我們可以證明：若數(shù)列{bn}有上界（即存在常數(shù)A，使得bn＜A對一切n∈N*恒成立）且單調(diào)遞增；或數(shù)列{bn}有下界（即存在常數(shù)B，使得bn＞B對一切n∈N*恒成立）且單調(diào)遞減，則
lim
n→∞
bn存在．直接利用上述結(jié)論，證明：
lim
n→∞
Sn存在．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列a1,a2,…,an的前n項(xiàng)和Sn=n2.設(shè)bn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求Tn.

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