【題目】設函數(shù).

（1）設是的極值點，求，并討論的單調(diào)性；

（2）若，證明：在區(qū)間內(nèi)，存在唯一的極小值點，且.

【答案】（1），的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）證明見解析；

【解析】

（1）利用可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)值等于0可得，再驗證函數(shù)在處取得極值，再根據(jù)導數(shù)符號可求得單調(diào)區(qū)間；

（2）根據(jù)導函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性以及零點存在性定理可得導函數(shù)在內(nèi)有唯一零點，從而可得函數(shù)在內(nèi)存在唯一的極小值點，根據(jù)極值點的范圍可證極值為正數(shù).

（1）定義域為，.

由題設，所以.

此時，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點.

綜上，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）因為，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.

因為，，所以存在，使得.

當時，，當時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間內(nèi)有唯一的極小值點，沒有極大值點.

由得，于是.

因為當時，，所以.

綜上，在區(qū)間內(nèi)有唯一的極小值點，沒有極大值點，且.

練習冊系列答案
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【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事,說的是齊國大將軍田忌經(jīng)常與齊國眾公子賽馬,孫臏發(fā)現(xiàn)田忌的馬和其他人的馬相差并不遠,都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻策:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽，田忌獲勝的概率如下表所示:

比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬參賽,結(jié)果只有勝和負兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.

（1）如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；

（2）如果比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學期望.

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