【題目】已知拋物線焦點為,直線與拋物線交于兩點.到準線的距離之和最小為8.

1)求拋物線方程;

2)若拋物線上一點縱坐標(biāo)為,直線分別交準線于.求證:以為直徑的圓過焦點.

【答案】12)證明見解析

【解析】

1)根據(jù)題意及拋物線定義,可知,從而可求出拋物線方程;

2)當(dāng)直線軸垂直時,求出的坐標(biāo),進而證得以為直徑的圓過焦點;當(dāng)直線軸不垂直時,設(shè)出直線方程,點和點坐標(biāo),并與拋物線方程聯(lián)立,

借助根與系數(shù)的關(guān)系以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,證得,從而證出以為直徑的圓過焦點.

1到準線的距離之和等于到焦點的距離之和,即為

最小為通徑,所以,解得,

所以拋物線方程為.

2)拋物線焦點,準線方程:,

點縱坐標(biāo)為,得,

當(dāng)直線軸垂直時,

直線方程為,此時, ,

直線,直線,

所以,,,

所以,圓心坐標(biāo)為,半徑,

焦點到圓心的距離,

此時,以為直徑的圓過焦點.

當(dāng)直線軸不垂直時,

設(shè)直線,設(shè),

,得,,

直線為代入準線得:

同理可得

,

所以,所以焦點在以為直徑的圓上.

綜上,以為直徑的圓過焦點.

練習(xí)冊系列答案
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