Question

已知函數(shù)f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2處取得極值，且f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x-3y=0垂直，求：
（Ⅰ）a，b的值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）由于函數(shù)f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2處取得極值，可得f′（2）=0．由于f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x-3y=0垂直，可得f′(1)×

1

3

=-1，聯(lián)立解得即可．
（II）分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx．
∵函數(shù)f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2處取得極值，
∴f′（2）=0，即12a+4b=0，化為3a+b=0．
∵f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x-3y=0垂直，
∴f′(1)×

1

3

=-1，
而f′（1）=3a+2b，
∴3a+2b=-3．
聯(lián)立

3a+b=0 3a+2b=-3

，解得

a=1 b=-3

．
∴a=1，b=-3．
（Ⅱ）由（I）可得f（x）=x³-3x²，
f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0；令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），遞減區(qū)間是（0，2）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、導數(shù)的幾何意義與切線方程、互相垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．