Question

15．在一次考試中，5名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成績?nèi)绫硭�示�?br />

學(xué)生	A1	A2	A3	A4	A5
數(shù)學(xué)x（分）	89	91	93	95	97
物理y（分）	87	89	89	92	93

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求物理分?jǐn)?shù)y對數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x的線性回歸方程；
（2）要從4名數(shù)學(xué)成績在90分以上的同學(xué)中選2名參加一項活動，以X表示選中的同學(xué)的物理成績高于90分的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)所求的回歸直線方程為$\hat y=\hat bx+\hat a$，分別求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\widehat{a}$，$\widehat$，由此能求出物理分?jǐn)?shù)y對數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x的線性回歸方程．
（2）X的所有可能取值為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 解：（1）設(shè)所求的回歸直線方程為$\hat y=\hat bx+\hat a$，
$\overline x=\frac{1}{5}（{89+91+93+95+97}）=93$，
$\overline y=\frac{1}{5}（{87+89+89+92+93}）=90$，
${\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）}^2}={（{-4}）^2}+{（{-2}）^2}+{0^2}+{2^2}+{4^2}=40$，
$\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}=（{-4}）×（{-3}）+（{-2}）×（{-1}）+0×（{-1}）+2×2+4×3=30$，
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{30}{40}=0.75$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=90-0.75×93=20.25$，
故所求回歸直線方程為$\hat y=0.75x+20.25$…（8分）
（2）X的所有可能取值為0，1，2．
$P（{X=0}）=\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}，P（{X=1}）=\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}=\frac{2}{3}，P（{X=2}）=\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

所以$E（X）=0×\frac{1}{6}+1×\frac{2}{3}+2×\frac{1}{6}=1$．…（12分）

點評 本題考查線性回歸方程的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．