Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，且過點$（{\sqrt{3}，2}）$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過A（a，0）且相互垂直的兩條直線l₁，l₂，與橢圓C的另一個交點分別為P，Q，問直線PQ是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)，否則，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，將點代入橢圓方程，即可求得a和b的值求得橢圓方程；
（2）由A點坐標(biāo)，當(dāng)直線PQ斜率不存在時，代入橢圓方程，求得交點坐標(biāo)，當(dāng)直線的斜率存在時，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求得定點．

解答 解：（1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則a=$\sqrt{3}$c，b²=a²-c²=2c²，
將$（{\sqrt{3}，2}）$代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}=1$，解得：c=$\sqrt{3}$，
∴a=3，b²=6，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$；
（2）由A（3，0），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當(dāng)PQ⊥x軸，不妨設(shè)兩條直線l₁，l₂的斜率為1，-1，設(shè)l₁：y=x-3，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²-18x+9=0，解得：x=$\frac{3}{5}$，x=3，
直線l₂：y=-x+3，同理可得：解得：x=$\frac{3}{5}$，x=3，
∴直線PQ與x軸交點M（$\frac{3}{5}$，0），
當(dāng)PQ與x軸不垂直時，設(shè)PQ的方程為y=k（x-m），
代入橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1}\end{array}\right.$，整理得：（6+9k²）x²-18k²mx+（9k²m²-54）=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}m}{6+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}-54}{6+9{k}^{2}}$，
由題意可知：$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，則（x₁-3，y₁）（x₂-3，y₂）=0，
整理得：（1+k²）x₁x₂-（3+k²m）（x₁+x₂）+（k²m²+9）=0，
則（1+k²）×$\frac{9{k}^{2}-54}{6+9{k}^{2}}$-（3+k²m）（$\frac{18{k}^{2}m}{6+9{k}^{2}}$）+（k²m²+9）=0，整理得：5m²-18m+9=0，
解得：m=$\frac{3}{5}$或m=3，（舍去）
∴直線PQ是否經(jīng)過定點M（$\frac{3}{5}$，0）．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．