Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦點為F，點B（0，1）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點$（1，\frac{2}{k}]$的直線交橢圓C于M，N兩點，交直線x=2于點P，設(shè)$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{PN}=μ\overrightarrow{NF}$，求證：λ+μ為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意b=1，利用橢圓的離心率即可求得a的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運算，即可證明λ+μ=0為定值．

解答 解：（Ⅰ）由點B（0，1）在橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，則$\frac{1}{b^2}=1$，即b=1．
又橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由a²=b²+c²，得$a=\sqrt{2}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）證明：由已知得F（1，0），直線MN的斜率存在．
設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則P（2，k）．
由$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{PN}=μ\overrightarrow{NF}$，得$λ=\frac{{2-{x_1}}}{{{x_1}-1}}，μ=\frac{{2-{x_2}}}{{{x_2}-1}}$，
∴$λ+μ=\frac{{2-{x_1}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{2-{x_2}}}{{{x_2}-1}}=\frac{{3（{x_1}+{x_2}）-2{x_1}{x_2}-4}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}$，．
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．
∴$3（{x_1}+{x_2}）-2{x_1}{x_2}-4=3×\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}-2×\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}-4$=$\frac{{12{k^2}-4{k^2}+4-4-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$=0，
∴λ+μ=0為定值…（14分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用，屬于中檔題．