Question

15．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，若直線l₁過原點，直線l₂與直線l₁相交于點P，丨$\overrightarrow{OP}$丨=1，且l₁⊥l₂，直線l₂與橢圓交于A、B兩點，問是否存在這樣的直線l₂，使$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1成立，若存在，求出直線l₂的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 分類討論，根據(jù)$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1，丨$\overrightarrow{OP}$丨=1進行轉化，將直線l₂的方程為mx+ny=1代入橢圓方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，即可得出結論．

解答 解：假設存在直線l₂，使$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1成立．
設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），Q（m，n），且m²+n²=1，
則直線l₁的方程為nx-my=0，直線l₂的方程為mx+ny=1．
（1）當n=0時，此時直線l₂的方程為x=±1，可得A（1，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
代入$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$≠1，不符題意；  …（5分）
（2）當n≠0時，將直線l₂的方程為mx+ny=1與橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1聯(lián)立，
又m²+n²=1，得 （1+m²）x²-4mx+2-8n²=0．…（6分）
∴x₁+x₂=$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2-8{n}^{2}}{1+{m}^{2}}$．  …（7分）
又∵$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1，
∴x₁x₂+y₁y₂+2=m（x₁+x₂）+n（y₁+y₂）．
又 mx₁+ny₁=1，mx₂+ny₂=1
∴m（x₁+x₂）+n（y₁+y₂）=2．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．    …（9分）
∴n²x₁x₂+1+m²x₁x₂-m（x₁+x₂）=0．
∴x₁x₂+1-m（x₁+x₂）=0．   …（11分）
∴-5n²=0．
∴n=0這與n≠0矛盾．   …（12分）
綜上可知，不存在這樣的直線l₂，使$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1成立．

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．