Question

3．求函數(shù)y=arcsin（sinx）的定義域、值域、判斷它的奇偶性、單調(diào)性、周期性．

Answer 1

分析 由條件利用反正弦函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得函數(shù)y=arcsin（sinx）的定義域、值域、判斷它的奇偶性、單調(diào)性、周期性．

解答 解：對(duì)于函數(shù)y=arcsin（sinx），根據(jù)-1≤sinx≤1，求得x∈R，故函數(shù)的定義域?yàn)镽．
根據(jù)反正弦函數(shù)的定義可得y∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
再根據(jù)y=f（x）=arcsin（sinx）滿足f（-x）=arcsin[sin（-x）]=arcsin[-sinx]=-arcsin（sinx）=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
在R上，當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)t=sinx沒(méi)有單調(diào)性，故函數(shù)y=arcsin（sinx）沒(méi)有單調(diào)性．
再根據(jù)y=f（x）=arcsin（sinx）滿足f（x+2π）=arcsin[sin（x+2π）]=arcsin（sinx）=f（x），
可得函數(shù)y的一個(gè)周期為2π．
由于不存在T∈（0，2π），使f（x+T）=f（x）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都成立，故函數(shù)y的周期為2π．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反正弦函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．