Question

18．有界函數(shù)f：Z→Z，并且有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n），求f（n）．

Answer 1

分析 由已知中f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n），聯(lián)想到和差角的余弦公式滿足：cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，可知f（x）為余弦型函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的定義域和值域均為整數(shù)，可得答案．

解答 解：∵f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n），
聯(lián)想到和差角的余弦公式滿足：
cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，
且f：Z→Z，及定義域和值域均為整數(shù)，
故設(shè)f（x）=cos$\frac{π}{2}$x，
則f（n）=cos$\frac{nπ}{2}$，（n∈Z）滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，符合本題的函數(shù)比較多，如常數(shù)函數(shù)，余弦型函數(shù)，只要找到滿足條件的一個(gè)函數(shù)即可．