Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）函數(shù)f（x）在[2，3]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{1}{x}$在[2，3]恒成立，求出a的范圍即可；
（2）由f（x）=lnx-ax，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，（x，a＞0），分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得x范圍，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減．對a與1，2的大小關(guān)系分類討論即可得出單調(diào)區(qū)間及其最值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≤0在[2，3]恒成立，
即a≥$\frac{1}{x}$在[2，3]恒成立，則a≥$\frac{1}{2}$；
（2）由f（x）=lnx-ax，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{-ax+1}{x}$，（x，a＞0），
令f′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{a}$．
∴函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減．
①當(dāng)0＜$\frac{1}{a}$≤1時(shí)，即a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最小值是（2）=ln2-2a．
②當(dāng)$\frac{1}{a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．
③當(dāng)1＜$\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，$\frac{1}{a}$]上是增函數(shù)，在[$\frac{1}{a}$，2]是減函數(shù)．
又f（2）-f（1）=ln2-a，∴當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜ln2時(shí)，最小值是f（1）=-a；
當(dāng)ln2≤a＜1時(shí)，最小值為f（2）=ln2-2a．．
綜上可知，當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．