Question

6．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某四棱錐的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該四棱錐的外接球的表面積是（　�。�

• A． $\frac{19π}{3}$
• B． $\frac{22π}{3}$
• C． 19π
• D． 22π

Answer 1

分析 根據(jù)四棱錐的三視圖知該四棱錐底面為矩形，高為$\sqrt{3}$的四棱錐；
還原出長(zhǎng)方體，設(shè)該四棱錐的外接球球心為O，求出外接球的半徑，
計(jì)算外接球的表面積．

解答 解：根據(jù)四棱錐的三視圖，知該四棱錐底面為矩形，高為$\sqrt{3}$的四棱錐；
且側(cè)面PAB⊥底面ABCD，如圖所示；

還原出長(zhǎng)方體是長(zhǎng)為2，寬為1，高為$\sqrt{3}$．
設(shè)該四棱錐的外接球球心為O，則
過(guò)O作OM⊥平面PAB，M為△PAB的外心，
作ON⊥平面ABCD，則N為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)；
∴OM=$\frac{1}{2}$，ON=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴外接球的半徑滿足
R²=ON²+AN²=${（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}$+${（\frac{\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}}{2}）}^{2}$=$\frac{19}{12}$，
∴外接球的表面積為
S=4πR²=4π×$\frac{19}{12}$=$\frac{19π}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由空間幾何體三視圖求幾何體外接球的表面積的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．