Question

已知等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}，且a₁=b₁，a₂=b₂，a₁≠a₂，a_n＞0，n∈N^*．
（1）試比較a₃與b₃，a₄與b₄的大�。�
（2）試猜想a_n與b_n（n≥3，n∈N^*）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a₃與b₃，a₄與b₄的利用作差或作商進(jìn)行大小比較．
（2）由（1）根據(jù)a₃與b₃，a₄與b₄的大小，猜測大小關(guān)系，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，a₁=b₁=a＞0，
∵a₂=b₂＞0，∴a+d=aq＞0，可得d=a（q-1）．a(chǎn)₁≠a₂，a_n＞0，∴d＞0，q＞1．
a₃-b₃=（a+2d）-aq²=2aq-a-aq²=-a（1-q）²＜0，∴a₃＜b₃，
a₄-b₄=（a+3d）-aq³=3aq-2a-aq³=-a（q-1）²（q+2）＜0，∴a₄＜b₄，
（2）猜想a_n＜b_n（n≥3，n∈N^*）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=3時(shí)，由（1）知，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（n≥3，n∈N^*）時(shí)不等式成立，即a_k＜b_k
即a+（k-1）a（q-1）＜aq ^k-1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a_k+a（q-1）＜aq ^k-1+a（q-1）=a（q ^k-1+q-1），
a_k+1-b_k+1＜a（q ^k-1+q-1）-aq ^k=a（q ^k-1-1）（1-q）＜0．
所以a_k+1＜b_k+1＜a，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立
由①②可知猜想正確，即當(dāng)n≥3，n∈N^*時(shí)，a_n＜b_n

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若（1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立