Question

（本小題滿分12分） 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且對任意時(shí)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值。

 

Answer 1

（1） ；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)得，當(dāng)時(shí)，， 將兩等式相減得： ，即，這是一個(gè)公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得其通項(xiàng)公式.（2）據(jù)（1）可得 ，從而得，顯然數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，且單調(diào)遞減，所以將前面為正的所有項(xiàng)相加即為和的最大值.

試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．

所以， 1分

當(dāng)時(shí)，，， 2分

當(dāng)時(shí)，， 3分

所以 ， 4分

，

是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，

； 5分

（2） 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020606053887205810/SYS201502060605545758900830_DA/SYS201502060605545758900830_DA.026.png">是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，

所以， 6分

∴， 7分

∵，

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，且單調(diào)遞減， 8分

由， 9分

所以，即，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020606053887205810/SYS201502060605545758900830_DA/SYS201502060605545758900830_DA.031.png">，，

∴， 11分

數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為． 12分

考點(diǎn)：1、等差數(shù)列與等比數(shù)列；2、最值問題.