【題目】將邊長(zhǎng)為正整數(shù)m、n的矩形劃分成若干邊長(zhǎng)均為正整數(shù)的正方形,每個(gè)正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊,試求這些正方形邊長(zhǎng)之和的最小值.
【答案】
【解析】
記所求最小值為,可以證明.(*)
事實(shí)上,不妨設(shè).
(1)對(duì)m歸納,可證明存在一種合乎題意的分法,使所得正方形邊長(zhǎng)之和恰為.
當(dāng)m=1,時(shí),命題顯然成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.當(dāng)時(shí),若,則命題顯然成立,若,從矩形ABCD中切去正方形(如圖).由歸納假設(shè),矩形有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之和恰為.
于是,原矩形ABCD有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之和為.
(2)對(duì)m歸納可以證明(*)成立.
當(dāng)m=1時(shí),由于n=1,顯然.
假設(shè)當(dāng)時(shí),對(duì)任意,有.
若,當(dāng)時(shí),顯然
當(dāng)時(shí),設(shè)矩形ABCD按要求分成了p個(gè)正方形,其邊長(zhǎng)分別為.不妨設(shè).
顯然,或.
若,則在AD與BC之間的與AD平行的任一直線至少穿過(guò)二個(gè)分成的正方形(或其邊界),于是不少于AB與CD之和.
故.
若,則一個(gè)邊長(zhǎng)分別為m-n和n的矩形可按題目要求分成邊長(zhǎng)分別為的正方形,由歸納假設(shè).
從而,
于是,當(dāng)m=k+1時(shí),
再由(1)可知,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某文體局為了解“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程,收集并整理了2018年1月至2018年11月期間“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程(單位:公里)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖,下列結(jié)論正確的是( )
A. 月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)
B. 月跑步平均里程逐月增加
C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D. 1月至5月的月跑步平均里程相對(duì)于6月至11月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x∈[﹣2,2]時(shí),不等式f(x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=.
(1) 若不等式k≤xf(x)+在x∈[1,3]上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2) 當(dāng)x∈ (m>0,n>0)時(shí),函數(shù)g(x)=tf(x)+1(t≥0)的值域?yàn)閇2-3m,2-3n],求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)曲線(a為正常數(shù))與在x軸上方僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍(用a表示);
(2)O為原點(diǎn),若與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,當(dāng)時(shí),試求△OAP的面積的最大值(用a表示).
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【題目】設(shè) a ∈ N+ , a ≥ 2 , 集合.在閉區(qū)間[ 1, a ] 上是否存在 b , 使 A ∩ B ≠ ? 如果存在, 求出 b 的一切可能值及相應(yīng)的 A ∩ B;如果不存在, 試說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在古裝電視劇《知否》中,甲乙兩人進(jìn)行一種投壺比賽,比賽投中得分情況分“有初”“貫耳”“散射”“雙耳”“依竿”五種,其中“有初”算“兩籌”,“貫耳”算“四籌”,“散射”算“五籌”,“雙耳”算“六籌”,“依竿”算“十籌”,三場(chǎng)比賽得籌數(shù)最多者獲勝.假設(shè)甲投中“有初”的概率為,投中“貫耳”的概率為,投中“散射”的概率為,投中“雙耳”的概率為,投中“依竿”的概率為,乙的投擲水平與甲相同,且甲乙投擲相互獨(dú)立.比賽第一場(chǎng),兩人平局;第二場(chǎng),甲投了個(gè)“貫耳”,乙投了個(gè)“雙耳”,則三場(chǎng)比賽結(jié)束時(shí),甲獲勝的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若橢圓的左焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),則在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使得直線的斜率互為相反數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,也請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)應(yīng)的邊分別為、、,復(fù)數(shù),,(其中是虛數(shù)單位),且.
(1)求證:,并求邊長(zhǎng)的值;
(2)判斷△的形狀,并求當(dāng)時(shí),角的大小.
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