Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間情況；

（2）若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可按的正、負(fù)、零分類討論；

（2）由（1）需分和討論，時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；因此在上最大值為0，即最大值點(diǎn)為零點(diǎn)，由此可得零點(diǎn)及，從而可確定另一零點(diǎn)的范圍證得結(jié)論，時(shí)類似討論可得．

（1）的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上遞減，時(shí)，，在上遞增；

當(dāng)時(shí)，在上，，在上，，在上遞減，在和上分別遞增；

當(dāng)時(shí)，在上，，在上，，在和上分別遞減，在上遞增.

（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上遞減，在和上分別遞增，

在上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

在上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，為使有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則需在的最大值，可得，零點(diǎn)；

而當(dāng)時(shí)，，，，

∵，

∴，，，，

∴另一個(gè)零點(diǎn)滿足：，

∴，

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在和上分別遞減，在上遞增，

在上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

在上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，為使有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則需在的最大值，可得，零點(diǎn)；

而當(dāng)時(shí)，，，，由上面證明可知，，

∴另一個(gè)零點(diǎn)滿足：，

∴，

綜上可知，.