Question

已知集合A={x|ax²+bx+1=0，a∈R，b∈R}，求：
（1）當b=2時，A中至多只有一個元素，求a的取值范圍；
（2）當b=-2時，A中至少有一個元素，求a的取值范圍；
（3）當a、b滿足什么條件時，集合A為非空集合．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點,元素與集合關系的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,集合

分析：（1）A為空集，表示方程無解，根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)與△的關系，若A中只有一個元素，
則方程ax²+2x+1=0有且只有一個實根我們易得到一個關于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）若A中只有一個元素，表示方程為一次方程，或有兩個等根的二次方程，分別構造關于a的方程，即可求出滿足條件的a值，以及兩個不同的實根，利用判別式大于0，即可得到．
（3）若集合A為空集，求出a的范圍，再求補集即可得到答案．

解答： 解：（1）若A是空集，
則方程ax²+2x+1=0無解，
此時△=4-4a＜0即a＞1，
若A中只有一個元素，
則方程ax²+2x+1=0有且只有一個實根，
當a=0時方程為一元一次方程，滿足條件，
當a≠0，此時△=4-4a=0，解得：a=1．
∴a=0或a=1．
則a的取值范圍是：a=0或a≥1；
（2）當b=-2時，A中至少有一個元素，
即ax²-2x+1=0有且只有一個實根和兩個不同的實根，
則有a=0或a≠0，△=0或a≠0，△＞0，
即有a=0，或a=1或a≠0且a＜1．
則a的取值范圍是：a=0或a≤1；
（3）若集合A為空集合，
則ax²+bx+1=0無實數(shù)解，
即有a=0，b=0，或a≠0，△＜0．
即有a=0，且b=0，或b²＜4a，
故當a、b滿足a≠0或b≠0或a≠0時，b²≥4a，時，集合A為非空集合．

點評：本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，根據(jù)題目要求確定集合中方程根的情況，是解答本題的關鍵．