Question

16．已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，f（0）=f（2）=3，g（x）=f（x）+ax（a∈R）．
①求f（x）的解析式；
②若函數(shù)g（x）在[-1，1]上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 ①根據(jù)條件可知，二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，從而可設(shè)f（x）=m（x-1）²+1，根據(jù)f（0）=3便可求出m=2，這樣即可得出f（x）=2（x-1）²+1；
②求出g（x）=2x²-（4-a）x+3，求出g（x）的對稱軸為x=$\frac{4-a}{4}$，這樣根據(jù)g（x）在[-1，1]上不是單調(diào)函數(shù)便可得出$-1＜\frac{4-a}{4}＜1$，從而解該不等式便可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：①f（0）=f（2）=3；
∴f（x）的對稱軸為x=1；
∴設(shè)f（x）=m（x-1）²+1；
∴f（0）=m+1=3；
∴m=2；
∴f（x）=2（x-1）²+1；
②g（x）=2x²-（4-a）x+3；
∴g（x）的對稱軸為x=$\frac{4-a}{4}$；
∵g（x）在[-1，1]上不是單調(diào)函數(shù)；
∴$-1＜\frac{4-a}{4}＜1$；
解得0＜a＜8；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，8）．

點(diǎn)評 考查二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的最小值，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，待定系數(shù)求函數(shù)解析式的方法．