Question

2．已知$f（x）={e^x}-\frac{x}{4}$，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
（1）設(shè)g（x）=xf'（x）（其中f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），判斷g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性
（2）若F（x）=lnx-af（x）+1無零點(diǎn)，試確定a的范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)后知g（x），對(duì)g（x）求導(dǎo)后得到單調(diào)性．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)求得F（x）的單調(diào)性及最值，然后對(duì)a分情況討論，利用F（x）無零點(diǎn)分別求得a的取值范圍，再取并集即可．

解答 解：（1）$f'（x）={e^x}-\frac{1}{4}，g（x）=xf'（x）=x（{e^x}-\frac{1}{4}）$，
∴$x＞0，g'（x）=（x+1）{e^x}-\frac{1}{4}＞{e^x}-\frac{1}{4}＞1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}＞0$，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增
（2）$F'（x）=\frac{1}{x}-af'（x）=\frac{{a（\frac{1}{a}-g（x））}}{x}$
又g（0）=0，g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴存在唯一x₀∈（0，+∞）使F'（x₀）=0且x∈（0，x₀），F(xiàn)'（x）＞0，
x∈（x₀，+∞），F(xiàn)'（x）＜0，
∴F（x）在（0，x₀）遞增，（x₀，+∞）遞減，
∴F_max（x）=F（x₀）=lnx₀-af（x₀）+1，其中$a=\frac{1}{{g（{x_0}）}}$
又x→0₊，F(xiàn)（x）→-∞，
∴F（x）=lnx-af（x）+1無零點(diǎn)等價(jià)于F（x₀）＜0
記$G（x）=lnx-\frac{f（x）}{g（x）}+1$，
∴$G'（x）=\frac{f（x）g'（x）}{{{g^2}（x）}}$
易知x＞0時(shí)，f（x）＞0，
∴G'（x）＞0，
∴G（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且G（1）=0，
∴0＜x₀＜1
又$\frac{1}{a}=g（{x_0}）∴0＜\frac{1}{a}＜e-\frac{1}{4}$，
∴$a＞\frac{1}{{e-\frac{1}{4}}}$=$\frac{4}{4e-1}$，
故a的取值范圍為（$\frac{4}{4e-1}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，求極值和最值，主要考查求最值的方法和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想方法是解題的關(guān)鍵．