Question

17．某公司即將推車一款新型智能手機(jī)，為了更好地對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行宣傳，需預(yù)估市民購(gòu)買該款手機(jī)是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了50名市民進(jìn)行購(gòu)買意愿的問(wèn)卷調(diào)查，若得分低于60分，說(shuō)明購(gòu)買意愿弱；若得分不低于60分，說(shuō)明購(gòu)買意愿強(qiáng)，調(diào)查結(jié)果用莖葉圖表示如圖所示．
（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為市民是否購(gòu)買該款手機(jī)與年齡有關(guān)？

	購(gòu)買意愿強(qiáng)	購(gòu)買意愿弱	合計(jì)
20-40歲
大于40歲
合計(jì)

（2）從購(gòu)買意愿弱的市民中按年齡進(jìn)行分層抽樣，共抽取5人，從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪，記抽到的2人中年齡大于40歲的市民人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖能完成2×2列聯(lián)表，由列聯(lián)表求出K²≈3.46＜3.841，從而得到?jīng)]有95%的把握認(rèn)為市民是否購(gòu)買該款手機(jī)與年齡有關(guān)．
（2）購(gòu)買意愿弱的市民共有20人，抽樣比例為$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$，所以年齡在20～40歲的抽取了2人，年齡大于40歲的抽取了3人，則X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由莖葉圖可得：

	購(gòu)買意愿強(qiáng)	購(gòu)買意愿弱	合計(jì)
20～40歲	20	8	28
大于40歲	10	12	22
合計(jì)	30	20	50

由列聯(lián)表可得：K²=$\frac{50（20×12-10×8）^{2}}{30×20×28×22}$≈3.46＜3.841，
所以，沒(méi)有95%的把握認(rèn)為市民是否購(gòu)買該款手機(jī)與年齡有關(guān)． …（6分）
（2）購(gòu)買意愿弱的市民共有20人，抽樣比例為$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$，
所以年齡在20～40歲的抽取了2人，年齡大于40歲的抽取了3人，
則X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
所以分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．