Question

如圖，已知直線L：x=my+1過(guò)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在直線G：x=a²上的射影依次為點(diǎn)D，K，E，
（1）已知拋物線x2=4

3

y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)．
①求橢圓C的方程；
②若直線L交y軸于點(diǎn)M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，當(dāng)m變化時(shí)，求λ₁+λ₂的值；
（2）連接AE，BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)并給予證明；否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知c=1，a²=b²+c²=4，橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，再由l與y軸交于M(0，-

1

m

)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=my+1 3x2+4y2-12=0

，知（3m²+4）y²+6my-9=0，△=144（m²+1）＞0，然后由根與系數(shù)的關(guān)系能求出λ₁+λ₂的值；
（2）由F（1，0），k=（a²，0），先探索m=0時(shí)，直線L⊥ox軸，則ABED由對(duì)稱性知，AE與BD相交FK中點(diǎn)N，且N(

a2+1

2

，0)，再猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N(

a2+1

2

，0)．然后結(jié)合題設(shè)條猜想進(jìn)行證明．

解答：解：（1）易知b=

3

，∴b²=3，又F（1，0），∴c=1，a²=b²+c²=4
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（3分）
∵l與y軸交于M(0，-

1

m

)
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=my+1 3x2+4y2-12=0

∴（3m²+4）y²+6my-9=0，△=144（m²+1）＞0∴

1

y1

+

1

y2

=

2m

3

(*)（5分）
又由

MA

=λ1

AF

，∴(x1，y1+

1

m

)=λ1(1-x1，-y1)
∴λ1=-1-

1

my1

同理λ2=-1-

1

my2

∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)=-2-

2

3

=-

8

3

（8分）

（3）∵F（1，0），k=（a²，0），
先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線L⊥ox軸，則ABED由對(duì)稱性知，AE與BD相交FK中點(diǎn)N，且N(

a2+1

2

，0)
猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N(

a2+1

2

，0)（9分）
證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（a²，y₂），D（a²，y₁）
當(dāng)m變化時(shí)首先AE過(guò)定點(diǎn)N
∵

x=my+1 b2x2+a2y2-a2b2=0

，即（a²+b²m²）y²+2mb²y+b²（1-a²）=0
又△=4a²b²（a²+m²b²-1）＞0（a＞1）
又K_AN=

-y1

a2-1 2 -my1

，KEN=

-y2

1-a2 2

而K_AN-K_EN=

a2-1 2 (y1+y2)-my1y2

1-a2 2 ( a2-1 2 -my1)

(

a2-1

2

(y1+y2)-my1y2=

a2-1

2

•(-

2mb2

a2+m2b2

)-m•

b2(1-a2)

a2+m2b2

=

(a2-1)•(mb2-mb2)

a2+m2b2

=0)
∴K_AN=K_EN，∴A、N、E三點(diǎn)共線，
同理可得B、N、D三點(diǎn)共線
∴AE與BD相交于定點(diǎn)N(

a2+1

2

，0)（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行猜想．