Question

4．已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且x＞0時f（x）=2^x-2，則不等式f（x+1）＜0的解集為（　�。�

• A． {x|x＜0或1＜x＜2}
• B． {x|-2＜x＜-1或x＞0}
• C． {x|x＜-2或-1＜x＜0}
• D． {x|0＜x＜1或x＞2}

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求出f（-1）=0，再將不等式f（x+1）＜0分成兩類加以討論，再分別利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，可以得出相應(yīng)的解集再求并即可．

解答 解：∵f（x）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（1）=0，
∴f（-1）=-f（1）=0，且函數(shù)f（x）在（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)．
∴f（x+1）＜0?當(dāng)x+1＞0時，f（x+1）＜0=f（1）或
當(dāng)x+1＜0時，f（x+1）＜0=f（-1）
根據(jù)f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)是都是增函數(shù)，
得到：0＜x+1＜1或x+1＜-1⇒-1＜x＜0或x＜-2
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等有關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．結(jié)合函數(shù)的草圖，會對此題有更深刻的理解．