Question

15．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，f（x）+g（x）=e^x，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式，并證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，g（x）＞1
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式2mf（x）≤2g（x）-e^x-m-1在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)f（x）奇函數(shù)，g（x）偶函數(shù)即可得到g（x）-f（x）=e^-x，聯(lián)立f（x）+g（x）=e^x即可解出$f（x）=\frac{1}{2}（{e}^{x}-{e}^{-x}），g（x）=\frac{1}{2}（{e}^{x}+{e}^{-x}）$，x＞0時(shí)容易得出f（x）＞0，而由基本不等式即可求出g（x）＞1；
（Ⅱ）f（x），g（x）帶入原不等式便可得出m（e^x-e^-x+1）≤e^-x-1，可令t=e^x（x＞0），得到t＞1，容易得出p（x）＞0，進(jìn)而得出$m≤-\frac{1}{t-1+\frac{1}{t-1}+3}$，根據(jù)基本不等式即可求出$-\frac{1}{t-1+\frac{1}{t-1}+3}≥-\frac{1}{5}$，這樣即可得出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)條件，f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）；
∴f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=e^-x；
∴由$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+g（x）={e}^{x}}\\{g（x）-f（x）={e}^{-x}}\end{array}\right.$得，$f（x）=\frac{1}{2}（{e}^{x}-{e}^{-x}），g（x）=\frac{1}{2}（{e}^{x}+{e}^{-x}）$；
證明：當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，0＜e^-x＜1，故f（x）＞0；
又由基本不等式，有$g（x）=\frac{1}{2}（{e}^{x}+{e}^{-x}）＞\sqrt{{e}^{x}{e}^{-x}}=1$，即g（x）＞1；
（Ⅱ）由條件知m（e^x-e^-x+1）≤e^-x-1在（0，+∞）上恒成立；
令t=e^x（x＞0），則t＞1；
∵p（x）=e^x-e^-x+1在R上為增函數(shù)，∴p（x）＞p（0）=1＞0；
∴$m≤-\frac{t-1}{{t}^{2}+t+1}=-\frac{1}{（t-1）+\frac{1}{t-1}+3}$對(duì)任意t＞1成立；
∵$t-1+\frac{1}{t-1}+3≥2+3$；
∴$-\frac{1}{t-1+\frac{1}{t-1}+3}≥-\frac{1}{5}$，當(dāng)t=2即x=ln2時(shí)等號(hào)成立；
∴$m≤-\frac{1}{5}$；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（-∞，-\frac{1}{5}]$．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義，以及基本不等式的應(yīng)用．