Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且橢圓C經(jīng)過點．
（I）求橢圓C的離心率：
（II）設(shè)過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設(shè)條件結(jié)合橢圓的性質(zhì)直接求出a，c的值，即可得到橢圓的離心率；
（II）由題設(shè)過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，可設(shè)出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由于兩曲線交于兩點，故判斷式大于0且可利用根與系數(shù)的關(guān)系建立M，N兩點的坐標與直線的斜率k的等量關(guān)系，然后再設(shè)出點Q的坐標，用兩點M，N的坐標表示出，再綜合計算即可求得點Q的軌跡方程．
解答：解：（I）∵橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且橢圓C經(jīng)過點．
∴c=1，2a=PF₁+PF₂==2，即a=
∴橢圓的離心率e===…4分
（II）由（I）知，橢圓C的方程為，設(shè)點Q的坐標為（x，y）
（1）當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于（0，1）、（0，-1）兩點，此時點Q的坐標為（0，2-）
（2）當直線l與x軸不垂直時，可設(shè)其方程為y=kx+2，
因為M，N在直線l上，可設(shè)點M，N的坐標分別為（x₁，kx₁+2），（x₂，kx₂+2），則
，，又|AQ|²=（1+k²）x²，
∴，即=…①
將y=kx+2代入中，得（2k²+1）x²+8kx+6=0…②
由△=（8k）²-24（2k²+1）＞0，得k²＞
由②知x₁+x₂=-，x₁x₂=，代入①中化簡得x²=…③
因為點Q在直線y=kx+2上，所以k=，代入③中并化簡得10（y-2）²-3x²=18
由③及k²＞可知0＜x＜，即x∈（-，0）∪（0，）
由題意，Q（x，y）在橢圓C內(nèi)，所以-1≤y≤1，
又由10（y-2）²-3x²=18得（y-2）²∈[，）且-1≤y≤1，則y∈（，2-）
所以，點Q的軌跡方程為10（y-2）²-3x²=18，其中x∈（-，），y∈（，2-）…13分
點評：本題主要考查直線、橢圓、曲線與方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、分類與整合等數(shù)學思想，并考查思維的嚴謹性．本題是圓錐曲線中的常見題型，所考查的解題方式較為典型，本題運算量較大易因為運算失誤造成丟分．