Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-3|．
（1）當(dāng)a=3是，解不等式f（x）≥4+|x-3|-|x-1|；
（2）若不等式f（x）≤1+|x-3|的解集為[1，3]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0）．
       求證：m+2n≥2．

Answer 1

分析 （1）對(duì)x進(jìn)行討論，去絕對(duì)值號(hào)，解不等式即可；
（2）求出a，得出m，n的關(guān)系，再利用基本不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）a=3時(shí)，f（x）≥4+|x-3|-|x-1|等價(jià)于|x-3|+|x-1|-4≥0，
當(dāng)x≤1時(shí)，不等式為3-x+1-x-4≥0，解得x≤0；
當(dāng)x≥3時(shí)，不等式為x-3+x-1-4≥0，解得x≥4；
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，不等式為3-x+x-1-4≥0，不等式無(wú)解．
綜上，不等式≥解集為（-∞，0]∪[4，+∞）．
（2）證明：f（x）≤1+|x-3|等價(jià)于|x-a|≤1，∴-1≤x-a≤1，
即a-1≤x≤a+1，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=1}\\{a+1=3}\end{array}\right.$，
∴a=2．
即$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}$=2，∴2n=$\frac{m}{2m-1}$，
∵m＞0，n＞0，∴$\frac{m}{2m-1}$＞0，∴2m-1＞0．
∴m+2n=m+$\frac{m}{2m-1}$=$\frac{2{m}^{2}}{2m-1}$=$\frac{\frac{1}{2}（2m-1）^{2}+（2m-1）+\frac{1}{2}}{2m-1}$=$\frac{1}{2}$[（2m-1）+$\frac{1}{2m-1}$]+1≥$\frac{1}{2}$×2+1=2．
當(dāng)且僅當(dāng)2m-1=$\frac{1}{2m-1}$即m=1時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．