Question

已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1）及B（0，-1），且與直線x+y-1=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），使得對(duì)圓C上的任意一點(diǎn)M，

MP

MO

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值均保持不變（即為同一常數(shù)），若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）由于圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1）及B（0，-1），且與直線x+y-1=0相切．可設(shè)C（a，0），利用切線的性質(zhì)可得CA⊥直線x+y-1=0．利用k_CA•（-1）=-1，解得a=-1．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得|CA|=

(-1)2+1

=r．即可得出．
（2）如圖所示，假設(shè)存在P（a，0）滿足題意，當(dāng)取M(

2

-1，0)時(shí)，

MP

MO

=

a-( 2 -1)

2 -1

；當(dāng)取M(-1-

2

，0)時(shí)，

MP

MO

=

a+ 2 +1

2 +1

；利用

a-( 2 -1)

2 -1

=

a+( 2 +1)

2 +1

，解得a=1．可得

MP

MO

=

2

．P（1，0）．設(shè)M（x，y），假設(shè)

MP

MO

=

(x-1)2+y2

x2+y2

=

2

，證明方程與圓C的方程相同即可．

解答： 解：（1）∵圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1）及B（0，-1），且與直線x+y-1=0相切．
∴可設(shè)C（a，0），則CA⊥直線x+y-1=0．
∴k_CA•（-1）=-1，∴

1

-a

=1，解得a=-1．
∴|CA|=

(-1)2+1

=

2

=r．
∴圓C的方程為：（x+1）²+y²=2．
（2）如圖所示，假設(shè)存在P（a，0）滿足題意，
當(dāng)取M(

2

-1，0)時(shí)，

MP

MO

=

a-( 2 -1)

2 -1

；當(dāng)取M(-1-

2

，0)時(shí)，

MP

MO

=

a+ 2 +1

2 +1

；
∴

a-( 2 -1)

2 -1

=

a+( 2 +1)

2 +1

，解得a=1．
可得

MP

MO

=

2

．P（1，0）．
設(shè)M（x，y），假設(shè)

MP

MO

=

(x-1)2+y2

x2+y2

=

2

，
化為（x+1）²+y²=2．
因此點(diǎn)M在圓C上，滿足題意．
因此在x軸上存在點(diǎn)P（1，0），使得對(duì)圓C上的任意一點(diǎn)M，

MP

MO

=

2

為同一常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、圓的點(diǎn)滿足特殊性質(zhì)，考查了取特殊點(diǎn)探究一般性規(guī)律的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．