Question

函數(shù)f（x）的定義域D={x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）與f（-1）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；
（3）若x＞1時(shí)，f（x）＞0，求證f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
（4）在（3）的條件下，若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．

Answer 1

（1）令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=f（1）=0，解得f（-1）=0．
（2）令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得f（x）是偶函數(shù)．
（3）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，f(

x2

x1

)＞0，
則f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＞f(x1)，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
（4）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
由f（3x+1）≤2變形為f（3x+1）≤f（16）．
∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）=f（|x|），在（3）的條件下有f[|3x+1|]≤f（16）
∴|3x+1|≤16且3x+1≠0，解得x∈[-

17

3

，-

1

3

)∪(-

1

3

，5]．