已知定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足2f(x)+f(
1
x
)=-1+2log2(x2+
1
x2
)．
（1）求f（1）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式．
分析：（1）在2f(x)+f(
1
x
)=-1+2log2(x2+
1
x2
)中，令x=1，求得f（1）的值；
（2）由2f(x)+f(
1
x
)=-1+2log2(x2+
1
x2
)①，用
1
x
代替x得②，①、②聯(lián)立求得f（x）的解析式．
解答：解：（1）∵定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x）
滿足2f(x)+f(
1
x
)=-1+2log2(x2+
1
x2
)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，2f（1）+f（1）=-1+2log2（1+1），
∴3f（1）=-1+2，
∴f（1）=
1
3
；
（2）∵2f(x)+f(
1
x
)=-1+2log2(x2+
1
x2
)…①，
用
1
x
來(lái)代替x得 2f(
1
x
)+f(x)=-1+2log2(x2+
1
x2
)…②，
①×2-②得3f（x）=-1+2log2（x2+
1
x2
），
∴f（x）=-
1
3
+
2
3
log2（x2+
1
x2
）；
即得f（x）的解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的值與函數(shù)解析式的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f(
x1x2
)=f(x1)-f(x2)，且當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0．
（1）求f（1）的值
（2）判斷f（x）的單調(diào)性
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在[-2，2]上的函數(shù)y=f（x）和y=g（x），其圖象如圖所示：給出下列四個(gè)命題：
①方程f[g（x）]=0有且僅有6個(gè)根    ②方程g[f（x）]=0有且僅有3個(gè)根
③方程f[f（x）]=0有且僅有5個(gè)根    ④方程g[g（x）]=0有且僅有4個(gè)根
其中正確命題的序號(hào)（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在（-1，+∞）上的函數(shù)f(x)=
2x+1，x≥0
3x+1
x+1
，-1＜x＜0
，若f（3-a2）＞f（2a），則實(shí)數(shù)a取值范圍為
（-
1
2
，1）
（-
1
2
，1）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上奇函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），
（1）若f（1）≠1，且當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)g(x)=
f(x)x
的值域?yàn)閇-2，1]
①求函數(shù)f（x）的解析式；
②關(guān)于x的方程f（x）=3x+m有且只有三個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍；
（2）若c=-3，f（x）+1≥0對(duì)于?x∈[-1，1]成立，求f（x）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），f（1）=1，且f（x）在（0，1）上單調(diào)，則方程f（x）=|lgx|的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（　�。�

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