Question

5．過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于3，則這樣的直線(xiàn)（　　）

• A． 有且僅有一條
• B． 有且僅有兩條
• C． 有無(wú)窮多條
• D． 不存在

Answer 1

分析 過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，先看直線(xiàn)AB斜率不存在時(shí)，求得橫坐標(biāo)之和等于2，不符合題意；進(jìn)而設(shè)直線(xiàn)AB為y=k（x-1）與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而求得k．得出結(jié)論．

解答 解：過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，
若直線(xiàn)AB的斜率不存在，則橫坐標(biāo)之和等于2，不適合．
故設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為k，則直線(xiàn)AB為y=k（x-1）
代入拋物線(xiàn)y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于3，
∴$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$=3，解得：k²=4．
則這樣的直線(xiàn)有且僅有兩條，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線(xiàn)的應(yīng)用．解題的時(shí)候要注意討論直線(xiàn)斜率不存在時(shí)的情況，以免遺漏．