Question

已知四邊形ABCD為直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，△ABD為等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為PA的中點(diǎn)，AD=2BC=，PA=3PD=3．
（1）求證：BE∥平面PDC；
（2）求證：AB⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PD中點(diǎn)F，連EF、CF，證明四邊形BCFE為平行四邊形，然后證明BE∥平面PDC；
（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明PD⊥AD，利用平面與平面的垂直，證明PD⊥AB，即可證明AB⊥平面PBD；
解答：解：證明：（1）取PD中點(diǎn)F，連EF、CF，則EF∥AD且EF=AD，
由題意四邊形BCFE為平行四邊形，∴BE∥CF，
∵BE?平面PDC，CF?平面PDC，
∴BE∥平面PDC；          …（4分）
（2）由題意：AD=2BC=2，PA=3PD=3．
∵AD2+PD2=AP2∴PD⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PD⊥面ABCD，
∴PD⊥AB，又∴BD⊥AB，
∴AB⊥面PBD；
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的平行的判定定理的應(yīng)用，直線與平面垂直判斷定理的應(yīng)用，考查空間想象能力，邏輯推理能力．．