已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,側(cè)棱與底面垂直,底面ABCD是菱形且∠BAD=60°,側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2,則面AB1C與底面A1B1C1D1,ABCD所成角的正弦值為


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    2
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式
D
分析:題目是求二面角的正弦值問(wèn)題,根據(jù)給出的四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,且底面為菱形這兩個(gè)條件,連接底面菱形的對(duì)角線(xiàn)相交于一點(diǎn)O,再連接B1O后即可得到要求的二面角的平面角,然后結(jié)合題目給出的角的大小及棱的長(zhǎng)度,在直角三角形中可求得則面AB1C與底面A1B1C1D1所成二面角的正弦值.
解答:解:如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
∵側(cè)棱與底面垂直,∴B1B⊥面ABCD,
∵AC?面ABCD,∴B1B⊥AC.
連接AC、BD,設(shè)AC∩BD=O,連接B1O,
∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∵B1B⊥AC,又BB1∩BD=B,
∴AC⊥面B1BD,
∵OB1?面B1BD,∴AC⊥OB1
∴∠B1OB為二面角B1-AC-B的平面角,
即面AB1C與底面ABCD所成的角,
∵面A1B1C1D1∥面ABCD,
亦即為面AB1C與底面A1B1C1D1所成的角.
∵底面ABCD是菱形,且∠BAD=60°,∴∠BAO=30°,
在直角三角形AOB中,∵∠BAO=30°,AB=2,∴OB=1.
再在直角三角形OBB1中,∵OB=1,BB1=2,∴

∴則面AB1C與底面A1B1C1D1,ABCD所成角的正弦值為
故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查了空間中線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì),考查了二面角的平面角的找法,本題因給出的幾何體具有較好的對(duì)稱(chēng)性,所以尋找二面角的平面角相對(duì)容易,如果二面角的平面角不易尋找時(shí),涉及二面角的平面角問(wèn)題可以借助于空間向量來(lái)處理,把二面角轉(zhuǎn)化為平面法向量所成角的問(wèn)題,此題屬中檔題.
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已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,AA1=2,底面四邊形ABCD的邊長(zhǎng)均大于2,且∠DAB=45°,點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)且在AB,AD上的射影分別為M,N,若|PA|=2,則三棱錐P-D1MN體積的最大值為( 。

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AB
=
e1
AD
=
e2
,
AA1
=
e3
.試用向量法解下列問(wèn)題:
(1)求證:直線(xiàn)MF∥平面ABCD;
(2)求證:直線(xiàn)MF⊥面A1ACC1;
(3)是否存在a,使平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角是30°?如果存在,求出相應(yīng)的a 值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(提示:可設(shè)出兩面的交線(xiàn))

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(2012•江門(mén)一模)如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的俯視圖是邊長(zhǎng)為3的正方形,側(cè)視圖是長(zhǎng)為3寬為
3
的矩形.
(1)求該四棱柱的體積;
(2)取DD1的中點(diǎn)E,證明:面BCE⊥面ADD1A1

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AB
AE
=
 

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