Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，側(cè)棱與底面垂直，底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2，則面AB₁C與底面A₁B₁C₁D₁，ABCD所成角的正弦值為

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：題目是求二面角的正弦值問(wèn)題，根據(jù)給出的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，且底面為菱形這兩個(gè)條件，連接底面菱形的對(duì)角線(xiàn)相交于一點(diǎn)O，再連接B₁O后即可得到要求的二面角的平面角，然后結(jié)合題目給出的角的大小及棱的長(zhǎng)度，在直角三角形中可求得則面AB₁C與底面A₁B₁C₁D₁所成二面角的正弦值．
解答：解：如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵側(cè)棱與底面垂直，∴B₁B⊥面ABCD，
∵AC?面ABCD，∴B₁B⊥AC．
連接AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，連接B₁O，
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵B₁B⊥AC，又BB₁∩BD=B，
∴AC⊥面B₁BD，
∵OB₁?面B₁BD，∴AC⊥OB₁．
∴∠B₁OB為二面角B₁-AC-B的平面角，
即面AB₁C與底面ABCD所成的角，
∵面A₁B₁C₁D₁∥面ABCD，
亦即為面AB₁C與底面A₁B₁C₁D₁所成的角．
∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴∠BAO=30°，
在直角三角形AOB中，∵∠BAO=30°，AB=2，∴OB=1．
再在直角三角形OBB₁中，∵OB=1，BB₁=2，∴．
∴．
∴則面AB₁C與底面A₁B₁C₁D₁，ABCD所成角的正弦值為．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)，考查了二面角的平面角的找法，本題因給出的幾何體具有較好的對(duì)稱(chēng)性，所以尋找二面角的平面角相對(duì)容易，如果二面角的平面角不易尋找時(shí)，涉及二面角的平面角問(wèn)題可以借助于空間向量來(lái)處理，把二面角轉(zhuǎn)化為平面法向量所成角的問(wèn)題，此題屬中檔題．