Question

已知函數(shù)f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)在R上有三個(gè)零點(diǎn)，且1是其中一個(gè)零點(diǎn)．

(1)求b的值      (2)求f(2)的取值范圍

Answer 1

　(1)0　(2)

【解析】　(1)∵f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c，

∴f ′(x)＝－3x²＋2ax＋b. …………3分

∵f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是增函數(shù)，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取到極小值，即f ′(0)＝0，

∴b＝0.

(2)由(1)知，f(x)＝－x³＋ax²＋c，

∵1是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即f(1)＝0，∴c＝1－a.

∵f′(x)＝－3x²＋2ax＝0的兩個(gè)根分別為x₁＝0，x₂＝.

又∵f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是增函數(shù)，且函數(shù)f(x)在R上有三個(gè)零點(diǎn)，

∴應(yīng)是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)，因此應(yīng)有x₂＝>1，即a>.

∴f(2)＝－8＋4a＋(1－a)＝3a－7>－.

故f(2)的取值范圍為.