Question

19．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，圓C₂：x²+y²=t經(jīng)過橢圓C₁的焦點(diǎn)．
（1）設(shè)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C₂的切線，切點(diǎn)為Q，求△POQ面積的取值范圍，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)；
（2）過點(diǎn)M（-1，0）的直線l與曲線C₁，C₂自上而下依次交于點(diǎn)A，B，C，D，若|AB|=|CD|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得t的值，則丨PO丨∈[2，$\sqrt{6}$]，利用三角形的面積公式，即可求得△POQ面積的取值范圍；
（2）將直線l的方程，代入橢圓方程及圓的方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得m的值，求得直線直線l的方程．

解答 解：（1）橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{2}$，0），則t=2，…（1分）
設(shè)P（x，y），則丨PO丨=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4-\frac{2}{3}{x}^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{{x}^{2}}{3}}$，
由x²∈[0，6]，則丨PO丨∈[2，$\sqrt{6}$]，…（3分）
則△POQ面積S，S=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{丨PO{丨}^{2}-2}$∈[1，$\sqrt{2}$]，
△POQ面積的取值范圍[1，$\sqrt{2}$]；…（5分）
（2）設(shè)直線l的方程為：x=my-1；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去x，整理得（2m²+3）y²-4my-10=0，
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{4m}{2{m}^{2}+3}$…（7分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去x，得（m²+1）y²-2my-1=0，
設(shè)B（x₃，y₃），D（x₃，y₄），則y₃+y₄=$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，…（9分）
又丨AB丨=丨CD丨，則$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$，即y₃-y₁=y₂-y₄，…（10分）
從而y₁+y₂=y₃+y₄，即$\frac{4m}{2{m}^{2}+3}$=$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，解得m=0，
∴直線l的方程為x=-1．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．