Question

18．分別求出下列曲線的方程：
（1）橢圓的兩個焦點的坐標分別是（-4，0），（4，0），橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和等于10，求橢圓的標準方程．
（2）雙曲線C經過點（2，2），且與$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1具有相同的漸近線，求雙曲線C的標準方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則c=4，由橢圓的定義可知：2a=10，a=5，b²=a²-c²=9，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設與$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1具有相同的漸近線的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=λ，（λ≠0），將（2，2），代入橢圓方程即可求得λ=-4，即可求得雙曲線C的標準方程．

解答 解：（1）由橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
橢圓的兩個焦點的坐標分別是（-4，0），（4，0），則c=4，
由橢圓的定義可知：2a=10，a=5，
b²=a²-c²=9，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）設與$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1具有相同的漸近線的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=λ，（λ≠0）
由雙曲線C經過點（2，2），代入可知：λ=-4，
∴雙曲線C的標準方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
雙曲線C的標準方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

點評 本題考查橢圓的及雙曲線的標準方程，橢圓的定義，考查待定系數法的應用，屬于基礎題．