Question

10．關(guān)于x的不等式$\frac{x+2}{k}$＞1+$\frac{x-3}{{k}^{2}}$（其中k∈R，k≠0）．
（1）若x=3在上述不等式的解集中，試確定k的取值范圍；
（2）若k＞1時(shí)，上述不等式的解集是x∈（3，+∞），求k的值．

Answer 1

分析 （1）若x=3在上述不等式的解集中，即x=3，求解關(guān)于k的不等式$\frac{x+2}{k}$＞1+$\frac{x-3}{{k}^{2}}$即可．
（2）根據(jù)不等式與方程的思想求解，移項(xiàng)通分，化簡(jiǎn)，利用x=3求解k的值．

解答 解：（1）由題意：x=3時(shí)，不等式$\frac{x+2}{k}$＞1+$\frac{x-3}{{k}^{2}}$化簡(jiǎn)為$\frac{5}{k}＞1$，即$\frac{5}{k}-1＞0$，可得（5-k）k＞0，
解得：0＜k＜5．
∴當(dāng)x=3在上述不等式的解集中，k的取值范圍是（0，5）
（2）不等式$\frac{x+2}{k}$＞1+$\frac{x-3}{{k}^{2}}$化簡(jiǎn)可得$\frac{x+2}{k}＞\frac{{k}^{2}+x-3}{{k}^{2}}$（其中k∈R，k≠0）．
∵k＞1，
可得：$x+2＞\frac{{k}^{2}+x-3}{k}$?kx+2k＞k²+x-3
不等式的解集是x∈（3，+∞），∴x=3是方程kx+2k=k²+x-3的解．
即3k+2k=k²，
∵k≠0，
∴k=5．
故得若k＞1時(shí)，不等式的解集是x∈（3，+∞）時(shí)k的值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分式不等式的化簡(jiǎn)和解法，不等式與方程的關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．