已知函數(shù)f（x）=klnx，g（x）=ex．
（1）若函數(shù)φ（x）=f（x）+x-
2
x
，求φ（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)直線l為函數(shù)f（x）的圖象上一點(diǎn)A（x0，f（x0））處的切線．若在區(qū)間（2，+∞）上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g（x）相切，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）把f（x）的解析式代入φ（x）=f（x）+x-
2
x
，求導(dǎo)后得到φ′(x)=
x2+kx+2
x2
，然后利用分子二次三項(xiàng)式對應(yīng)方程的判別式與0的關(guān)系得到k的范圍，由k得范圍及二次三項(xiàng)式在不同區(qū)間內(nèi)的符號得到導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)一步得到定義域內(nèi)φ（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出過f（x）的圖象上一點(diǎn)A（x0，f（x0））處的切線l的方程，再設(shè)出l與g（x）的切點(diǎn)B的坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)得到l的另一方程，通過比較系數(shù)得到兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)間的關(guān)系，進(jìn)一步得到k與A點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系lnk=1+x0+lnx0-x0lnx0，構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=1+x+lnx-xlnx（x＞2），利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求出其最值，列不等式求得在區(qū)間（2，+∞）上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g（x）相切的實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答： 解：（1）∵f（x）=klnx，
∴f（x）+x-
2
x
=klnx+x-
2
x
 （x＞0），
φ′(x)=
k
x
+1+
2
x2
=
x2+kx+2
x2
，
方程x2+kx+2=0的判別式△=k2-8．
由△＞0，得k＜-2
2
或k＞2
2
．
當(dāng)△＞0時，x1=
-k-
k2-8
2
，x2=
-k+
k2-8
2
．
若k＞2
2
，φ′（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
若k＜-2
2
，當(dāng)x∈（0，x1），（x2，+∞）時，φ′（x）＞0．
當(dāng)x∈（x1，x2）時，φ′（x）＜0．
若-2
2
≤k≤2
2
，φ′（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立．
∴若k＜-2
2
，函數(shù)φ（x）的增區(qū)間為（0，x1），（x2，+∞），減區(qū)間為（x1，x2）；
若k≥-2
2
，則函數(shù)φ（x）的增區(qū)間為（0，+∞）．
（2）由f（x）=klnx，得f′(x)=
k
x
，f′(x0)=
k
x0
．
∴直線l的方程為y-klnx0=
k
x0
(x-x0)，即y=
k
x0
x+klnx0-k．
設(shè)l與y=g（x）切于點(diǎn)B（x1，y1），
則l的方程又可寫為y-ex1=ex1(x-x1)，即y=ex1x+ex1(1-x1)．
∴
k
x0
=ex1
k(lnx0-1)=ex1(1-x1)
⇒k(lnx0-1)=
k
x0
(1-x1)⇒x0（lnx0-1）=1-x1
⇒x1=1+x0-x0lnx0，
又x1=ln
k
x0
，
化簡得：lnk=1+x0+lnx0-x0lnx0．
設(shè)h（x）=1+x+lnx-xlnx（x＞2），h′(x)=1+
1
x
-(lnx+1)=
1
x
-lnx，
當(dāng)x＞2時，
1
x
＜lnx，
∴h′（x）＜0恒成立，h（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
且h（2）=3-ln2，要使x0唯一，只要令lnk＜3-ln2=ln
e3
2
．
∴0＜k＜
e3
2
．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，
e3
2
)．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，是壓軸題．
練習(xí)冊系列答案
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解不等式：2x2-5x+3＜0．

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解不等式：3x2-x-4＞0．

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如圖，半徑為1的圓O，∠AOB=∠BOC=∠COA=
2π
3
，點(diǎn)A0，B0，C0分別是半徑OA、OB、CO上的動點(diǎn)，且OA0=OB0=OC0，分別過A0，B0，C0作半徑OA、OB、CO的垂線，交圓O與A1，A2，B1，B2，C1，C2，過A2，B1分別作OA、OB的平行線A2M和B1M交于點(diǎn)M，過B2，C1分別作OB、OC的平行線B2N和C1N交于點(diǎn)N，過C2，A1分別作OC、OA的平行線C2P和A1P交于點(diǎn)P，由A1A2MB1B2NC1C2P圍成圖所示的平面區(qū)域（陰影部分），記它的面積為y，設(shè)∠A2OA=θ，用y=f（θ）表示y關(guān)于θ的函數(shù)．
（1）設(shè)θ∈（0，
π
3
]，求y=f（θ）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求y=f（θ）的最大值，并求出當(dāng)函數(shù)取最大值是時tan2θ的值．

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已知數(shù)列{an}中，點(diǎn)（an，an+1）（n∈N*）在直線x-y+1=0上，且a2=2．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求an；
（Ⅱ）設(shè)bn=3an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，若對任意n∈N*，都有(n+1)(2Sn+3)≤λ•4n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為原點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓C：
x2
m
+
y2
4
=1（0＜m＜4）上任意兩點(diǎn)，向量
p
=（x1，
y1
2
），
q
=（x2，
y2
2
）且
p
⊥
q
，橢圓的離心率e=
3
2
，求△AOB的面積是否為定值？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過點(diǎn)M（-
3
，0），且與圓N：（x-
3
）2+y2=16相內(nèi)切．
（Ⅰ）求動圓的圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（1，0），過點(diǎn)B且斜率為k1（k1≠0）的直線l與（Ⅰ）中的軌跡相交于C、D兩點(diǎn)，直線AC、AD分別交直線x=3于E、F兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為Q．記直線QB的斜率為k2，求證：k1•k2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：x-
3
y+1=0，一個圓的圓心C在x軸正半軸上，且該圓與直線l和y軸均相切．
（1）求該圓的方程；
（2）若直線：mx+y+
1
2
m=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=
3
，求m的值．

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如圖所示的偽代碼中，若輸入的a，b，c依次是1，2，3，則輸出的c的值為
 
．

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