Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

x2-（1+a）x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對(duì)于任意不小于2的正整數(shù)n，不等式

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞1-

1

n

恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的取值范圍得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由于f(1)=-

1

2

-a，顯然當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）＜0，此時(shí)f（x）≥0對(duì)定義域每的任意x不是恒成立的，當(dāng)a≤0時(shí)，根據(jù)（1）得出即可；
（Ⅲ）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2-

1

2

x≥0，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1成立，這個(gè)不等式即lnx≤x²-x，再將不等式變形即可證出．

解答： 解：∵f′(x)=

a

x

+x-(1+a)=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

．
（Ⅰ）當(dāng)a≤0時(shí)，若0＜x＜1，則f'（x）＜0，若x＞1，則f'（x）＞0，故此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，1）；
當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，同0＜a＜1可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（a，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）．
（Ⅱ）由于f(1)=-

1

2

-a，顯然當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）＜0，此時(shí)f（x）≥0對(duì)定義域每的任意x不是恒成立的，
當(dāng)a≤0時(shí)，根據(jù)（1），函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的極小值、也是最小值即是f(1)=-

1

2

-a，
此時(shí)只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

，故得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，-

1

2

]．
（Ⅲ）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2-

1

2

x≥0，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1成立，
這個(gè)不等式即lnx≤x²-x，當(dāng)x＞1時(shí)，可以變換為

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

(x-1)x

，
在上面不等式中分別令x=2，3，4…，n，

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

n

∴

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞1-

1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的取值范圍，以及不等式的證明，本題是一道綜合題．