Question

已知函數(shù)f（x）=

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x³-a²x+2a，（a＞0）
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）若在區(qū)間[0，2]上恒有f（x）≥-

4

3

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，令導函數(shù)大于0可求函數(shù)的增區(qū)間，令導函數(shù)小于0可求函數(shù)的減區(qū)間．
（2）在區(qū)間[0，2]上恒有f（x）≥-

4

3

，等價于x∈[0，2]時f（x）_min≥-

4

3

，借助（1）問函數(shù)的單調性可求其最小值．

解答：解：（1）f'（x）=x²-a²=（x-a）（x+a）（a＞0）
f'（x）＞0⇒x＞a或x＜-a，f'（x）＜0⇒-a＜x＜a…（4分）
∴f（x）在（-∞，-a）和（a，+∞）上都單調遞增，在[-a，a]上單調遞減；…（6分）
（2）x=-a為函數(shù)y=f（x）的極大值點，x=a為函數(shù)y=f（x）的極小值點，…（8分）
①當0＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）在[0，2]上的最小值為f（a）=-

2

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a³+2a，
∴-

2

3

a³+2a≥-

4

3

，即（a+1）²（a-2）≤0，∴a≤2，又0＜a＜2
∴0＜a＜2…（11分）
②當a≥2時，函數(shù)y=f（x）在[0，2]上的最小值為f（2）=

8

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-2a2+2a，
∴

8

3

-2a2+2a≥-

4

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，∴-1≤a≤2
又a≥2，∴a=2，…（14分）
綜上，0＜a≤2．…（15分）．

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，熟練掌握導函數(shù)法求函數(shù)單調區(qū)間和最值的方法和步驟是解答的關鍵．