Question

如圖，橢圓=1（a＞b＞0）與過A（2，0），B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
（1）求橢圓方程；
（2）設F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF₂的中點，求tan∠ATM．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線AB方程與橢圓方程聯解，利用根的判別式算出a²+4b²-4=0．再由橢圓的離心率e=，得a=2b，代入前面的式子可得a²=2且b²=，從而得到橢圓方程；
（2）由（1）算出F₁、F₂的坐標，從而得到AF₂的中點M（1+，0），聯解AB方程與橢圓方程得T（1，）．
最后利用直線的斜率公式和兩角差的正切公式，即可得到tan∠ATM的值．
解答：解：（1）過點A、B的直線方程為：，
∵直線AB與橢圓有唯一公共點，
∴將y=1-代入橢圓方程，化簡得
方程（b²+）x²-a²x+a²-a²b²=0有惟一解，
∴△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），
故a²+4b²-4=0．
又∵橢圓的離心率e=，
∴a=2b，代入上式可得a²=2，b²=，
因此，所求的橢圓方程為；
（2）由（1）得c==，得F₁（-，0），F₂（-，0）
從而算出M（1+，0）
將直線AB方程與橢圓方程聯解，可得T（1，）．
∴tan∠AF₁T==-1，
又∵tan∠TAM=-=，tan∠TMF₂=-=，
∴tan∠ATM=tan（∠TMF₂-∠TAM）==-1．
點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并求角的正切之值．主要考查了直線與橢圓的位置關系、橢圓的幾何性質，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，屬于中檔題．