Question

如圖，橢圓=1（a＞b＞0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線(xiàn)段AF₁的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF₁T．

Answer 1

【答案】分析：（I）過(guò)點(diǎn)A、B的直線(xiàn)方程為．，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212928565122198/SYS201310232129285651221018_DA/2.png">有惟一解，所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），故a²+4b²-4=0．由題意知，故所求的橢圓方程為．
（II）由（I）得，故，從而．，由，解得x₁=x₂=1，所以．由此可推出∠ATM=∠AF₁T．
解答：解：（I）過(guò)點(diǎn)A、B的直線(xiàn)方程為．
，
因?yàn)橛深}意得有惟一解，
即有惟一解，
所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），
故a²+4b²-4=0．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212928565122198/SYS201310232129285651221018_DA/15.png">，即，
所以a²=4b²．
從而得，
故所求的橢圓方程為．
（II）由（I）得，
故，
從而．
，
由
解得x₁=x₂=1，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212928565122198/SYS201310232129285651221018_DA/25.png">，
又，，
得=，
因此∠ATM=∠AF₁T．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．