Question

在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分別是BC、的中點．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正切值．

 

 

Answer 1

（１）祥見解析；（２）．

【解析】

試題分析：（１）欲證直線EF∥平面A1C1B，只需證明過EF的一個平面與平行平面A1C1B平行即可，由此只需取CC1的中點Ｍ，連接ＭＥ，ＭＦ，由E、F分別為AB、AA1的中點，可知FM∥A1C1，EM∥BC1，從而可得平面ＭＥＦ∥平面Ａ１Ｃ１Ｂ，再由面面平行的性質(zhì)可得ＥＦ∥平面Ａ１Ｃ１Ｂ．

（２）因為三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，所以平面ABB1A1平面ABC，故過E做AB的垂線，交AB于點H，連接HF，則，那么由線面角的概念可知∠EFH就是直線與平面所成角，在中由已知可求出∠EFH的正切值.

試題解析：（１）證：如下圖，取CC1的中點Ｍ，連接ＭＥ，ＭＦ，則ＭＥ∥ＢＣ１，ＭＦ∥Ａ１Ｃ１，

所以平面ＭＥＦ∥平面Ａ１Ｃ１Ｂ，又ＥＦ平面ＭＥＦ，ＥＦ∥平面Ａ１Ｃ１Ｂ７分

（也可以用線面平行的方法來求證）

（２）解；如下圖過E做AB的垂線，交AB于點H，連接HF，因為三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，所以平面ABB1A1平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理得：，故∠EFH即為所求之線面角． 10分

在直三棱柱ABC—A1B1C1中，由已知及平幾知識可求得：　，在中， 14分

考點：１．空間的線面平行的判定；２．直線與平面所成角的求法．