Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3），
（1）畫出這個函數(shù)的圖象；
（2）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)；
（3）求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （1）化為分段函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖．
（2）由圖象可得函數(shù)得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（3）由圖象可得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
當(dāng)x＜0時，f（x）=x²+2x-1=（x+1）²-2，
根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖．
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為
[-3，-1），[-1，0），[0，1），[1，3]．
f（x）在區(qū)間[-3，-1）和[0，1）上為減函數(shù)，
在[-1，0），[1，3]上為增函數(shù)．
（3）當(dāng)x≥0時，函數(shù)f（x）=（x-1）²-2的最小值為-2，
最大值為f（3）=2；
當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）=（x+1）²-2的最小值為-2，
最大值為f（-3）=2．
故函數(shù)f（x）的值域為[-2，2]．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象的畫法和二次函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．