Question

在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：CM⊥EM；

(2)求直線DE與平面CEM所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：因?yàn)锳C＝BC，M是AB的中點(diǎn)， 　　所以CM⊥AB　　2分 　　又EA⊥平面ABC， 　　所以CM⊥EA　　4分 　　因?yàn)锳BEA＝A 　　所以CM⊥平面EAB． 　　所以CM⊥EM　　6分 　　(2)連結(jié)MD， 　　設(shè)EA＝a，BD＝BC＝AC＝2a， 　　在直角梯形ABDE中， 　　AB＝2a，M是AB的中點(diǎn)， 　　所以DE＝3a，EM＝，DM＝， 　　得△DEM是直角三角形，其中DM⊥EM　　9分 　　又因?yàn)镈M⊥CM， 　　因?yàn)镋MCM＝M， 　　所以DM⊥平面CEM 　　所以∠DEM是直線DE和平面CEM所成的角　　12分 　　在Rt△DEM中，tan∠DEM＝， 　　故直線與平面所成角的正切值為　　14分