Question

已知f（x）=xsinx+cosx+x²（x∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）解不等式（文）f（x）＜f（2）；     
（理）f（log_0.5x）＜f（2）

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)x大于0和小于0進(jìn)行分類討論，解不等式求得解集．
（理）根據(jù)（Ⅰ）中函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)log_0.5x大于0和小于0進(jìn)行分類討論，利用單調(diào)性解不等式，求得解集．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），
∵2+cosx＞0，
∴f′（x）=0的解為x=0，
∴x＞0時(shí)，f′（x）＞0，x＜0，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)減，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增，
①當(dāng)x＞0時(shí)，原不等式等價(jià)于

x＞0 x＜2

，解得0＜x＜2，
②當(dāng)x=0時(shí)，原不等式成立，
③當(dāng)x＜0時(shí)，
∵f（-x）=f（x），
∴f（x）在R上為偶函數(shù)，
∴原不等式等價(jià)于

x＜0 f(-x)＜f(2)

，
∴0＜-x＜2
∴-2＜x＜0…．
綜上所述，原不等式的解集為（-2，2）；
（理科）由（1）得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
①當(dāng)log_0.5x＞0時(shí)，原不等式等價(jià)于

log0.5x＞0 log0.5x＜2

，解得

1

4

＜x＜1；
②當(dāng)log_0.5x=0，x=1時(shí)，原不等式成立；
當(dāng)log_0.5x＜0時(shí)，
∵f（-x）=f（x）
∴f（x）在R上為偶函數(shù)，
∴f（log_0.5x）=f（-log_0.5x），原不等式即f（-log_0.5x）＜f（2）
∴當(dāng)log_0.5x＜0時(shí)，-log_0.5x＞0原不等式等價(jià)于

log0.5x＜0 -log0.5x＜2

，
解得1＜x＜4．
綜上所述，原不等式的解集為解得（

1

4

，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，解不等式，對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)等問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．